CRRA

2023-08-09 11:00:00 · bal · 乐小管

CRRA (Coefficient of Relative Risk Aversion; 常相对风险规避效用函数) 效用函数形式：u(c_t)=\frac{c_t^{(1-\theta)}-1}{1-\theta}\theta >0,\theta \ne 1

CRRA (Coefficient of Relative Risk Aversion; 常相对风险规避效用函数)

什么是CRRA

　　效用函数形式： $u(c_t)=\frac{c_t^{(1-\theta)}-1}{1-\theta}$

　　 $θ > 0$ , $\theta \ne 1$

　　这一效用函数被称为常相对风险规避(CRRA)效用函数。它之所以得此名字，是因为这一效用函数的相对风险回避系数为 $- c u''(c) / u'(c) = θ$ ，与c无关。

CRRA的特征

　　该效用函数有以下特征：

　　1、当 $θ = 1$ 时，该效用函数退化为对数型效用函数。

　　因为 $lim_{\theta \to 1} \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}=\frac{0}{0}$ 。应用罗比塔法则得到： $lim_{\theta \to 1} \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}=lim_{\theta \to 1} \frac{-c^{1-\theta}Inc}{-1}=Inc$

　　2、从风险的角度看，我们常常借助效用函数的二阶导数的符号来判断别人们对待风险的态度：如果二阶导数大于零，则为风险偏好型；如果二阶导数小于零，则为风险回避型；如果二阶导数等于零，则为风险中性。但是，由于效用函数的二阶导数的数值在线性变换时会发生变化，所以它不能用来衡量人们回避风险或偏好风险的程度。二阶导数与一阶导数的比率为我们提供了绝对风险回避（或偏好）的度量方法：

　　 $a=-\frac{u''(c)}{u'(c)}$

　　而乘积ac则为我们提供了一种相对风险回避程度的度量方法：

　　 $\delta=ac=-\frac{cu''(c)}{u'(c)}$ ,因为 $u'(c) = c - θ$ ， $u''(c) = - θ c - θ - 1$ ,故有：

　　 $\delta=-\frac{cu''(c)}{u'(c)}=\theta$

　　所以，我们把这一效用函数称为常相对风险规避型效用函数。

　　3、该效用函数的跨期替代弹性是规定的，为 $1 / θ$ 。所以，这一效用函数又经常被称为固定跨期替代弹性（CIES）效用函数。在时期t与（t+1）之间消费的跨期替代弹性刻画的是两期之间消费数量比率的相对变动对两期之间消费品价格比率的相对变动的反应程度。

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