Z检验

2023-08-15 11:00:00 · bal · 乐小管

Z检验（Z Test）Z检验是一般用于大样本(即样本容量大于30)平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。当已知标准差时，验证一组数的均值是否与某一期望值相等时，用Z检验。

Z检验（Z Test）

什么是Z检验

　　Z检验是一般用于大样本(即样本容量大于30)平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。

　　当已知标准差时，验证一组数的均值是否与某一期望值相等时，用Z检验。

　　另外，对于Z检验我国的统计学教材大多采用U检验的说法。而国外英文统计学书籍，大多采用Z检验。

Z检验的步骤^[1]

　　统计检验的基本原理

　　统计检验是先对总体的分布规律作出某种假说，然后根据样本提供的数据，通过统计运算，根据运算结果，对假说作出肯定或否定的决策。如果现要检验实验组和对照组的平均数（ $μ 1$ 和 $μ 2$ ）有没有差异，其步骤为：

　　1．建立虚无假设，即先认为两者没有差异，用 $H 0 :μ 1 = μ 2$ 表示；

　　2．通过统计运算，确定假设 $H 0$ 成立的概率 P。

　　3. 根据 P 的大小，判断假设 $H 0$ 是否成立。如下表所示。

表 P 与 $H 0$ 的关系

　　Z检验法适用于大样本（样本容量大于30）的两平均数之间差异显著性检验的方法。它是通过计算两个平均数之间差的Z分数来与规定的理论Z值相比较，看是否大于规定的理论Z值，从而判定两平均数的差异是否显著的一种差异显著性检验方法。其一般步骤：

　　第一步：建立虚无假设 $H 0 :μ 1 = μ 2$ ，即先假定两个平均数之间没有显著差异，

　　第二步：计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法，

　　1、如果检验一个样本平均数（ $\bar{X}$ ）与一个已知的总体平均数( $μ 0$ )的差异是否显著。其Z值计算公式为：

　　 $Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$

　　其中：

$\bar{X}$ 是检验样本的平均数；
$μ 0$ 是已知总体的平均数；
S是样本的标准差；
n是样本容量。

　　2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为：

　　 $Z=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{\frac{{S_1}^2}{n_1}+\frac{{S_2}^2}{n_2}}}$

　　其中：

$\bar{X_1},\bar{X_2}$ 是样本1，样本2的平均数；
$S 1, S 2$ 是样本1，样本2的标准差；
$n 1, n 2$ 是样本1，样本2的容量。

　　第三步：比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

　　第四步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

Z检验举例^[1]

　　某项教育技术实验，对实验组和控制组的前测和后测的数据分别如下表所示，比较两组前测和后测是否存在差异。

　　由于n＞30，属于大样本，所以采用Z检验。由于这是检验来自两个不同总体的两个样本平均数，看它们各自代表的总体的差异是否显著，所以采用双总体的Z检验方法。

　　计算前测Z的值：

　　 $Z=\frac{76-78}{\sqrt{\frac{14^2}{50}+\frac{16^2}{50}}}=-0.658$

∵|Z|=0.658＜1.96

∴ 前测两组差异不显著。

　　再计算后测Z的值:

　　 $Z=\frac{85-80}{\sqrt{\frac{8^2}{50}+\frac{14^2}{50}}}=2.16$

∵|Z|= 2.16＞1.96

∴ 后测两组差异显著。

参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 汪琼.第五讲,第四节.教育技术研究方法——课程讲义.北京大学教育学院

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什么是Z检验

　　当已知标准差时，验证一组数的均值是否与某一期望值相等时，用Z检验。

　　另外，对于Z检验我国的统计学教材大多采用U检验的说法。而国外英文统计学书籍，大多采用Z检验。

Z检验的步骤^[1]

　　统计检验的基本原理

　　1．建立虚无假设，即先认为两者没有差异，用 $H 0 :μ 1 = μ 2$ 表示；

　　2．通过统计运算，确定假设 $H 0$ 成立的概率 P。

　　3. 根据 P 的大小，判断假设 $H 0$ 是否成立。如下表所示。

表 P 与 $H 0$ 的关系

　　第一步：建立虚无假设 $H 0 :μ 1 = μ 2$ ，即先假定两个平均数之间没有显著差异，

　　第二步：计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法，

　　1、如果检验一个样本平均数（ $\bar{X}$ ）与一个已知的总体平均数( $μ 0$ )的差异是否显著。其Z值计算公式为：

　　 $Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$

　　其中：

$\bar{X}$ 是检验样本的平均数；
$μ 0$ 是已知总体的平均数；
S是样本的标准差；
n是样本容量。

　　2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为：

　　 $Z=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{\frac{{S_1}^2}{n_1}+\frac{{S_2}^2}{n_2}}}$

　　其中：

$\bar{X_1},\bar{X_2}$ 是样本1，样本2的平均数；
$S 1, S 2$ 是样本1，样本2的标准差；
$n 1, n 2$ 是样本1，样本2的容量。

　　第三步：比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

　　第四步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

Z检验举例^[1]

　　某项教育技术实验，对实验组和控制组的前测和后测的数据分别如下表所示，比较两组前测和后测是否存在差异。

　　计算前测Z的值：

　　 $Z=\frac{76-78}{\sqrt{\frac{14^2}{50}+\frac{16^2}{50}}}=-0.658$

∵|Z|=0.658＜1.96

∴ 前测两组差异不显著。

　　再计算后测Z的值:

　　 $Z=\frac{85-80}{\sqrt{\frac{8^2}{50}+\frac{14^2}{50}}}=2.16$

∵|Z|= 2.16＞1.96

∴ 后测两组差异显著。

参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 汪琼.第五讲,第四节.教育技术研究方法——课程讲义.北京大学教育学院

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